Axiomas de Zermelo-Fraenkel

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Na matemática, a teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel com o axioma da escolha, nomeada em homenagem aos matemáticos Ernst Zermelo e Abraham Fraenkel e comumente abreviada como ZFC, é um dos muitos sistemas axiomáticos que foram propostos no início do século XX para promover uma teoria dos conjuntos sem os paradoxos da teoria ingênua dos conjuntos, como o paradoxo de Russell. Especificamente, a ZFC não permite o axioma da compreensão. Atualmente, a ZFC é a forma padrão da teoria axiomática dos conjuntos, sendo o fundamento matemático mais comum.A ZFC deve formalizar uma única noção primitiva de um conjunto hereditário bem-fundado, para que cada indivíduo no domínio de discurso seja um conjunto. Desta forma, os axiomas da ZFC se referem apenas a conjuntos, e não urelementos (elementos de
Axiomas de Zermelo-Fraenkel 
Na matemática, a teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel com o axioma da escolha, nomeada em homenagem aos matemáticos Ernst Zermelo e Abraham Fraenkel e comumente abreviada como ZFC, é um dos muitos sistemas axiomáticos que foram propostos no início do século XX para promover uma teoria dos conjuntos sem os paradoxos da teoria ingênua dos conjuntos, como o paradoxo de Russell. Especificamente, a ZFC não permite o axioma da compreensão. Atualmente, a ZFC é a forma padrão da teoria axiomática dos conjuntos, sendo o fundamento matemático mais comum.A ZFC deve formalizar uma única noção primitiva de um conjunto hereditário bem-fundado, para que cada indivíduo no domínio de discurso seja um conjunto. Desta forma, os axiomas da ZFC se referem apenas a conjuntos, e não urelementos (elementos de conjuntos que não são conjuntos) ou classes (coleções de objetos matemáticos definidos por uma propriedade em comum de seus membros). Os axiomas da ZFC previnem seus modelos de possuírem urelementos, e classes próprias só podem ser tratadas indiretamente.Formalmente, a ZFC é uma teoria de estruturas de lógica de primeira ordem. A assinatura possui igualdade e uma única relação binária primitiva, que é a pertinência, normalmente denotada por ∈. A fórmula a ∈ b significa que o conjunto a é membro do conjunto b (que também é lido como "a é elemento de b" ou "a está em b").Existem várias formulações equivalentes dos axiomas da ZFC. A maioria de seus axiomas formulam a existência de conjuntos particulares definidos a partir de outros conjuntos. Por exemplo, o axioma do par diz que, dados dois conjuntos quaisquer a e b, existe um novo conjunto {a, b} contendo exatamente a e b. Outros axiomas descrevem propriedades da pertinência de conjuntos. Um dos objetivos dos axiomas da ZFC é que cada axioma deve ser verdade se interpretado como uma afirmação sobre a coleção de todos os conjuntos do universo de von Neumann (também conhecido como a hierarquia cumulativa).A metamatemática da ZFC foi estudada extensivamente. Resultados marcantes dessa área estabeleceram a independência da hipótese do contínuo da ZFC, e o axioma da escolha dos axiomas restantes da ZFC. 
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